每日一题[3742]有序讨论

2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #10

各项均为正整数的数列 $2,3,4,a,b,20,30,40$ 为递增数列．从该数列中任取 $4$ 项构成的递增数列既不是等差数列也不是等比数列，则有序数对 $(a,b)$ 的个数为（       ）

A．$73$

B．$75$

C．$76$

D．$78$

答案    B．

解析    根据题意，数对 $(a,b)$ 满足 $5\leqslant a<b\leqslant 19$，这样的数对有 $105$ 个．考虑反面，统计使得该数列中取 $4$ 项构成的递增等差数列以及等比数列的数对．

$$\begin{array}{c|c|c}\hline \text{数列}&\text{要求}&(a,b)~\text{的个数}\\ \hline 2,3,4,\boxed{5}&a=5&14\\ \hline \boxed{10},20,30,40&10\in \{a,b\}&14\\ \hline 2,4,\boxed{6,8}&(a,b)=(6,8)&1\\ \hline 2,4,\boxed{8,16}&(a,b)=(8,16)&1\\ \hline 3,4,\boxed{5,6}&(a,b)=(5,6)&1\\ \hline \end{array}$$ 注意到前两类中有 $(a,b)=(5,10)$ 被重复计数，因此所求有序数对 $(a,b)$ 的个数为 $105-30=75$．