每日一题[3732]最值提供者

2025 年北京市昌平区高三期末数学试卷 #14

已知函数 $f(x)=\begin{cases}a x-2,&x<a,\\3 x-x^2,&x\geqslant a.\end{cases}$ 若 $f(x)$ 无最大值，则实数 $a$ 的一个可能的取值为_____；若 $f(x)$ 存在最大值，则 $a$ 的取值范围是_____．

答案    $-1$（不在 $[0,1]$ 的任意实数）；$[0,2]$．

解析    函数 $f(x)$ 的图象由端点为 $P(a,a^2-2)$ 的射线（不包含端点）以及端点为 $Q\left(a,3a-a^2\right)$ 的抛物射线（包括端点）组成．

当 $a<0$ 时，射线部分可以趋于无穷，无最大值点； 当 $0\leqslant a\leqslant 2$ 时，$P$ 在 $Q$ 下方（或重合），最大值点由抛物射线提供；

当 $a>2$ 时，，$P$ 在 $Q$ 上方，而射线端点无法取得，无最大值点；

综上所述，$a$ 的取值范围是 $[0,2]$．