每日一题[3728]理想子集

2025 年北京市东城区高三期末数学试卷 #15

已知非空数集 $I,P$ 满足：

条件一    $\forall x\in I$，有 $x\in P$；

条件二     $\forall x,y\in I$，有 $x+y\in I$；

条件三     $\forall x\in I$ 且 $\forall y\in P$，有 $x y\in I$，

则称 $I$ 是 $P$ 的理想子集．

下列结论中正确结论的序号是_____．

① 若 $I=\{2 k\mid k\in\mathbb Z\}$，则 $I$ 是 $\mathbb Z$ 的理想子集；

② 若 $I$ 是 $\mathbb R$ 的理想子集，且存在非零实数 $a\in I$，则 $I=\mathbb R$；

③ 若 $I_1,I_2$ 是 $P$ 的理想子集，则 $I_1\cup I_2$ 也是 $P$ 的理想子集；

④ 若 $I_1,I_2$ 是 $P$ 的理想子集，则 $I_1\cap I_2$ 也是 $P$ 的理想子集．

答案    ①②④．

解析    对于结论 ①，容易验证，结论正确；

对于结论 ②，对任意实数 $x$，取 $a\in I$，$\dfrac xa\in \mathbb R$，则有 $x\in I$，因此 $I=\mathbb R$，结论正确；

对于结论 ③，$I_1=\{2k\mid k\in\mathbb Z\}$，$I_2=\{3k\mid k\in\mathbb Z\}$，则 $2,3\in I_1\cup I_2$，但 $5\not in I_1\cup I_2$，结论错误；

对于结论 ④，根据理想子集定义，结论正确；

综上所述，正确的结论的序号是 ①②④．