每日一题[3721]数列最值

2025 年北京市海淀区高三期末数学试卷 #10

$2023$ 年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从 $2$ 月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多 $200$ 万元，乙公司每个月盈利比前一个月增加 $10\%$．记甲、乙两公司在 $2023$ 年第 $n$ 个月的盈利分别为 $Q_1(n),Q_2(n)$（单位：万元）．已知 $Q_1(1)=1200$，$Q_2(1)=1100$，则 $Q_1(n)-Q_2(n)$ 最大时，$n$ 的值为[[nn]] （参考数据：$\lg 1.1\approx 0.0414$，$\lg 2\approx 0.3010$）

A．$7$

B．$8$

C．$9$

D．$10$

答案    B．

解析    根据题意，有

$$Q_1(n)-Q_2(n)=(1000+200n)-1000\cdot 1.1^n=1000+200(n-5\cdot 1.1^n),$$ 设 $D(n)=n-5\cdot 1.1^n$，则 $$D(n+1)-D(n)=1+5\cdot 1.1^n-5\cdot 1.1^{n+1}=1-0.5\cdot 1.1^n.$$ 考虑方程 $$1-0.5\cdot 1.1^x=0\iff x=\dfrac{\lg 2}{\lg 1.1}\approx 7.27,$$ 因此当 $n=8$ 时，$D(n)$ 最大，也即 $Q_1(n)-Q_2(n)$ 最大．