每日一题[3715]伪装数列

2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #11

已知不等式 $a_n^2+\left(\dfrac{S_n}n\right)^2\geqslant \lambda a_1^2$ 对任意等差数列 $\{a_n\}$ 以及正整数 $n$ 都成立，其中 $S_n$ 为 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，则 $\lambda$ 的最大值为_____．

答案    $\dfrac 15$．

解析    题中不等式即

$$a_n^2+\left(\dfrac{a_1+a_n}2\right)^2\geqslant \lambda a_1^2\iff 5a_n^2+2a_1a_n+(1-4\lambda)a_1^2\geqslant 0,$$ 该不等式对对任意等差数列 $\{a_n\}$ 以及正整数 $n$ 都成立，也即对任意 $a_1,a_n\in\mathbb R$ 成立，因此 $$2^2-4\cdot 5\cdot (1-4\lambda)\leqslant 0\iff \lambda \leqslant \dfrac 15,$$ 因此 $\lambda$ 的最大值为 $\dfrac 15$．