每日一题[3714]三角计算

2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #8

在复平面上复数 $z_1,z_2$ 对应的点分别为 $Z_1,Z_2$，$O$ 为原点，若 $|z_1|=4$，$4z_1^2-2z_1z_2+z_2^2=0$，则 $\triangle OZ_1Z_2$ 的面积为_____．

答案  $8\sqrt 3$．

解析    根据题意，有 $$4z_1^2-2z_1z_2+z_2^2=0\implies 1-\dfrac{z_2}{2z_1}+\left(\dfrac{z_2}{2z_1}\right)^2=0\implies \dfrac{z_2}{2z_1}=\left(\pm\dfrac{\pi}3:1\right),$$ 因此 $|OZ_1|=4$，$|OZ_2|=8$，$\angle Z_1OZ_2=\dfrac{\pi}3$，所求面积为 $8\sqrt 3$．