2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #7
已知 $(5+x-5x^2)^{1012}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{2024}x^{2024}$，则 $2a_1+4a_3+6a_5+\cdots+2024 a_{2023}=$ _____．
答案 $-10120$．
设 $f(x)=(5+x-5x^2)^{1012}$，则\[f'(x)=1012(5+x-5x^2)^{1011}\cdot (1-10x)=a_1+2a_2x+\cdots+2023a_{2023}x^{2022}+2024a_{2024}x^{2023},\]于是\[\begin{cases} a_1+2a_2+\cdots+2023a_{2023}+2024a_{2024}=f'(1),\\ a_1-2a_2+\cdots+2023a_{2023}-2024a_{2024}=f'(-1),\\ a_0+a_1+\cdots+a_{2023}+a_{2024}=f(1),\\ a_0-a_1+\cdots-a_{2023}+a_{2024}=f(-1),\end{cases}\]因此有\[2a_1+4a_3+6a_5+\cdots+2024 a_{2023}=\dfrac{f'(1)+f'(-1)}2+\dfrac{f(1)-f(-1)}2=\dfrac{1012\cdot (-9)+1012\cdot(-1)\cdot 11}2+\dfrac{1+(-1)}2=-10120.\]