每日一题[3712]分数近似

2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #5

已知 $m,n\in\mathbb N^{\ast}$，且 $m,n\leqslant 1000$，则 $\dfrac m{n+1}<\sqrt 3<\dfrac{m+1}n$ 的解 $(m,n)$ 的个数为_____．

答案    $1576$．

解析    题中不等式即

$$\sqrt 3n-1<m<\sqrt 3n+\sqrt 3,$$ 于是 $$m=\big[\sqrt 3n\big],\big[\sqrt 3n\big]+1,\cdots,\big[\sqrt 3(n+1)\big],$$ 考虑到 $m,n\leqslant 1000$，而 $$\big[\sqrt 3\cdot 577\big]=999,\quad \big[\sqrt 3\cdot 578\big]=1001,$$ 因此将 $m$ 的系列取值首尾相接起来为 $1,2\cdots,1000$ 且重合部分数为 $576$，所求解的个数为 $1576$．