2025年北京大学寒假学堂数学试卷(回忆版) #4
88 条直线最多可以围成正三角形的个数为_____.
答案 $25230$.
解析 记 n=88.建立平面直角坐标系,设倾斜角分别在区间 [π3,2π3),[2π3,π) 的直线构成的集合为 A,B,C,则任何正三角形的三条边所在直线必然分别在集合 A,B,C 中,设其元素个数分别为 a,b,c,则可以围成的正三角形个数m⩽abc,
其中 a+b+c=n.用调整法容易证明当 |a−b|,|b−c|,|c−a|⩽1 时 abc 取得最大值 [1],而令 A,B,C 中的直线倾斜角分别为 0,π3,2π3(即三组平行线),且所有的直线满足任意三线不同点,则 m=abc,因此所求最多可以围成正三角形的个数为 29⋅29⋅30=25230.
备注 [1] abc 的最大值可以用 n 表示为 ⌊n3⌋⋅⌈n3⌉⋅(n3−⌊n3⌋−⌈n3⌉).