每日一题[3711]平分秋色

2025年北京大学寒假学堂数学试卷（回忆版） #4

$88$ 条直线最多可以围成正三角形的个数为_____．

答案    $25230$．

解析    记 $n=88$．建立平面直角坐标系，设倾斜角分别在区间 $\left[\dfrac{\pi}3,\dfrac{2\pi}3\right),\left[\dfrac{2\pi}3,\pi\right)$ 的直线构成的集合为 $A,B,C$，则任何正三角形的三条边所在直线必然分别在集合 $A,B,C$ 中，设其元素个数分别为 $a,b,c$，则可以围成的正三角形个数 $$m\leqslant abc,$$ 其中 $a+b+c=n$．用调整法容易证明当 $|a-b|,|b-c|,|c-a|\leqslant 1$ 时 $abc$ 取得最大值 $^{[1]}$，而令 $A,B,C$ 中的直线倾斜角分别为 $0,\dfrac{\pi}3,\dfrac{2\pi}3$（即三组平行线），且所有的直线满足任意三线不同点，则 $m=abc$，因此所求最多可以围成正三角形的个数为 $29\cdot 29\cdot 30=25230$．

备注    $[1]$ $abc$ 的最大值可以用 $n$ 表示为 $\left\lfloor \dfrac n3\right\rfloor\cdot \left\lceil \dfrac n3\right\rceil\cdot \left(\dfrac n3-\left\lfloor \dfrac n3\right\rfloor- \left\lceil \dfrac n3\right\rceil\right)$．