每日一题[3687]借尸还魂

2025年上海市春季高考数学试卷 #12

在平面中，$\boldsymbol{e}_1$ 和 $\boldsymbol{e}_2$ 是互相垂直的单位向量，向量 $\boldsymbol{a}$ 满足 $\left|\boldsymbol{a}-4 \boldsymbol{e_1}\right|=2$，向量 $\boldsymbol{b}$ 满足 $\left|\boldsymbol{b}-6 \boldsymbol{e_2}\right|=1$，则 $\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 方向上的投影数量的最大值是_____．

答案    $4$．

解析    建立平面直角坐标系，$M(4,0)$，$N(0,6)$，点 $A$ 在以 $M$ 为圆心 $2$ 为半径（记为 $r_1$）的圆上，点 $B$ 在以 $N$ 为圆心 $1$ 为半径（记为 $r_2$）的圆上，$\boldsymbol a=\overrightarrow {OA}$，$\boldsymbol b=\overrightarrow {OB}$，如图．

设 $N$ 在 $OA$ 上的投影为 $H$，则 $\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 方向上的投影数量的最大值为 $$|OH|+r_2=|OH|+1,$$ 而由于 $\angle OHN=90^\circ$，于是 $H$ 的轨迹是以 $ON$ 为直径的圆的一部分，设 $ON$ 的中点为 $P(0,3)$，则 $$|OH|=|ON|\cdot\sin\angle AOM=6\sin\angle AOM,$$ 接下来考虑 $\sin\angle AOM$ 的最大值，当 $OA$ 与圆 $M$ 相切时取得（此时 $A$ 为切点，记为 $T$），为 $$\dfrac{|MT|}{|OM|}=\dfrac{r_1}{|OM|}=\dfrac 12,$$ 因此所求投影数量的最大值为 $4$．