每日一题[3684]步步维艰

2023年全国高中数学联赛北京市预赛 #11

已知 $a , b$ 为正整数，$a<b$，且 $a , b$ 互质，关于 $x , y$ 的不等式 $a x+b y<a b$ 有且只有 $2023$ 组正整数解，则 $(a, b)=$ _____．（求出满足题意的所有可能数组）

答案    $(2,4047),(3,2024),(8,579),(18,239)$．

解析    由 $ax+by<ab$ 可得 $y<\dfrac{(b-x)a}{b}$，于是

$$\left[\dfrac{1\cdot a}b\right]+\left[\dfrac{2\cdot a}b\right]+\cdots+\left[\dfrac{(b-1)\cdot a}b\right]=2023,$$ 倒序相加可得 $$(a-1)(b-1)=2\cdot 2023=2\cdot 7\cdot 17\cdot 17,$$ 于是 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} \hline a-1&1&2&7&14&17&34\\ \hline b-1&4046&2023&578&289&238&119\\ \hline \end{array}$$ 舍去不满足 $a,b$ 互质的解，可得满足题意的所有可能数组为 $$(2,4047),(3,2024),(8,579),(18,239).$$