每日一题[3679]集合分划

集合 $\{1,2,\cdots, 2023\}$ 的子集 $S$ 中，任意两个元素的平方和不是 $9$ 的倍数，则 $|S|$ 的最大值为[[nn]]．（这里 $|S|$ 表示 $S$ 的元素个数）

答案    $1350$．

解析    将 $\{1,2,\cdots, 2023\}$ 中的元素按模 $3$ 的余数划分为

$$\begin{split} S_1&=\{1,4,\cdots,2020,2023\},\\ S_2&=\{2,5,\cdots,2021\},\\ S_3&=\{3,6,\cdots,2022\},\end{split}$$ 则 $S_1,S_2,S_3$ 中的元素平方后模 $9$ 的余数分别为 $1,4,0$，因此可以取 $S_1,S_2$ 中的所有元素以及 $S_3$ 中的 $1$ 个元素构成符合要求的子集，其元素个数为 $675+674+1=1350$．