每日一题[3638]双重最值

记 $M$ 为 $|a+b|,|a-b|,|a-c|,|b-d|$ 中最大的数，若 $c+d \geqslant 2$，则 $M$ 的最小值为_____．

答案   $\dfrac 23$．

解析    根据题意，有 $$\begin{split} M&=\max\{|a+b|,|a-b|,|a-c|,|b-d|\}\\ &=\max\{|a|+|b|,|a-c|,|b-d|\}\\ &\geqslant \dfrac{|a|+|b|+|a-c|+|b-d|}3\\ &\geqslant \dfrac{|a+b-(a-c)-(b-d)|}3\\ &=\dfrac{|c+d|}3\\ &\geqslant \dfrac 23 ,\end{split}$$ 等号当 $(a,b,c,d)=\left(\dfrac 13,\dfrac 13,1,1\right)$ 时取得，因此 $M$ 的最小值为 $\dfrac 23$．