每日一题[3633]不动点改造

已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=\dfrac{1}{2}$，$a_n a_{n+1}=2 a_{n+1}-1$（$n=1,2,3, \cdots$），设 $T_n=a_1 a_2 \cdots a_n$，则 $T_{2025}=$（       ）

A．$\dfrac{1}{2026}$

B．$\dfrac{1}{2025}$

C．$\dfrac{2024}{2025}$

D．$\dfrac{2025}{2026}$

答案    A．

解析    根据题意，利用不动点法改造递推数列，有

$$a_{n+1}=\dfrac{1}{2-a_n}\implies \dfrac{1}{1-a_{n+1}}=\dfrac{1}{1-a_n}+1\implies \dfrac{1}{1-a_n}=n+1\implies a_n=\dfrac n{n+1},$$ 因此 $$T_n=a_1a_2\cdot a_n=\dfrac{1}{n+1}\implies T_{2025}=\dfrac{1}{2026}.$$