2024年10月广东深圳宝安中学高三数学测试 #19
将 $n$（$n\geqslant 2$）个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列 $\left\{a_n\right\}$，对任意 $1\leqslant i<j\leqslant n$，如果 $a_i>a_j$，那么称数对 $\left(a_i,a_j\right)$ 构成数列 $\left\{a_n\right\}$ 的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．
1、若将 $1,2,3,4$ 四个数构成的数列恰有 $2$ 个逆序对，请写出符合条件的数列组合；
2、计算以下数列的逆序数．
① $a_n=-2 n+19$（$1\leqslant n\leqslant 100$）；
② $a_n=\begin{cases}\left(\dfrac 1 3\right)^n,&n~\text{为奇数},\\-\dfrac n{n+1},&n~\text{为偶数}\end{cases}$（$1\leqslant n\leqslant k$）；
3、已知数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的逆序数为 $a$，求 $a_n,a_{n-1},\cdots,a_1$ 的逆序数．
解析
1、可以按 $4$ 的位置分类列写，所有组合为\[\begin{split} &1,4,2,3,\\ &1,3,4,2,\quad 2,1,4,3,\\ &2,3,1,4,\quad 3,1,2,4.\end{split}\]
2、① $\{a_n\}$ 单调递减，所有数对均为逆序对，因此逆序数为 $\dbinom {100}2=4950$；
② 根据题意，$\{a_n\}$ 的奇子列均为正数且单调递减，偶子列均为负数且单调递减，进而当 $k$ 为奇数时，逆序数为\[(k-1)+(k-3)+\cdots+2+\dfrac{k-3}2+\dfrac{k-5}2+\cdots+1=\dfrac{3 k^2-4 k+1}8=\dfrac 18(3k-1)(k-1),\]当 $k$ 为偶数时，逆序数为\[(k-1)+(k-3)+\cdots+1+\dfrac{k-2}2+\dfrac{k-4}2+\cdots+1=\dfrac{3 k^2-2 k}8=\dfrac 18k(3k-2).\]
对任意 $1\leqslant i<j\leqslant n$，如果 $a_i<a_j$，那么称数对 $\left(a_i,a_j\right)$ 构成数列 $\left\{a_n\right\}$ 的一个顺序对，一个有穷数列的全部顺序对的总数称为该数列的顺序数．这样数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的顺序对和逆序对之和为 $\dbinom n2$，且数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的顺序对与数列 $a_n,a_{n-1},\cdots,a_1$ 的逆序对一一对应，从而所求逆序数为\[\dbinom n2-a=\dfrac 12n(n-1)-a.\]
3、对任意 $1\leqslant i<j\leqslant n$，如果 $a_i<a_j$，那么称数对 $\left(a_i,a_j\right)$ 构成数列 $\left\{a_n\right\}$ 的一个顺序对，一个有穷数列的全部顺序对的总数称为该数列的顺序数．这样数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的顺序对和逆序对之和为 $\dbinom n2$，且数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 的顺序对与数列 $a_n,a_{n-1},\cdots,a_1$ 的逆序对一一对应，从而所求逆序数为\[\dbinom n2-a=\dfrac 12n(n-1)-a.\]