每日一题[3588]滚筒

2024年12月清华大学THUSSAT测试数学 #11

已知等差数列 $\left\{\alpha_{n}\right\}$ 的公差为 $\theta$，$b_{n}=\cos \alpha_{n}$，数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，$S=\left\{S_{n} \mid n \in \mathbb{N}^{*}\right\}$，若存在 $\alpha_{1}$，使得 $S$ 中恰好有 $3$ 个元素，则 $\theta$ 可能的取值为（       ）

A．$\dfrac{\pi}{3}$

B．$\dfrac{\pi}{2}$

C．$\dfrac{2 \pi}{3}$

D．$\pi$

答案    ABC．

解析    根据题意，有

$$\begin{array}{c|c|c}\hline (\alpha_1,\theta)&b_n&S\\ \hline \left(-\dfrac{\pi}6,\dfrac{\pi}3\right)&\underbrace{\dfrac{\sqrt 3}2,\dfrac{\sqrt 3}2,0,-\dfrac{\sqrt 3}2,-\dfrac{\sqrt 3}2,0},\cdots&\left\{-\dfrac {\sqrt 3}2,0,\dfrac{\sqrt 3}2\right\}\\ \hline \left(0,\dfrac{\pi}2\right)&\underbrace{1,0,-1,0},\cdots&\{-1,0,1\}\\ \hline \left(-\dfrac{\pi}6,\dfrac{2\pi}3\right)&\underbrace{\dfrac{\sqrt 3}2,0,-\dfrac{\sqrt 3}2},\cdots&\left\{-\dfrac{\sqrt 3}2,0,\dfrac{\sqrt 3}2\right\}\\ \hline \end{array}$$ 若 $\theta=\pi$，则 $$b_n:\underbrace{\cos\alpha_1,-\cos\alpha_1},\cdots,$$ 因此 $S$ 中最多含有 $2$ 个元素，不符合题意．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$．