2024年12月清华大学THUSSAT测试数学 #7
设 $f(x)=x(x-3)^{2}$，若方程 $f(x)=k$（$k \in \mathbb{R}$）有 $3 $ 个不同的根 $a, b, c$，则 $a b c$ 的取值范围为（ ）
A．$(-4,0)$
B．$(-2,0)$
C．$(0,4)$
D．$(0,2)$
答案 C．
解析 根据三次方程的韦达定理，有 $abc=k$．函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=3(x-1)(x-3),\]于是三次函数 $f(x)$ 的极小值为 $f(3)=0$，极大值为 $f(1)=4$，实数 $k$ 的取值范围是 $(0,4)$．