每日一题[3587]根系关系

2024年12月清华大学THUSSAT测试数学 #7

设 $f(x)=x(x-3)^{2}$，若方程 $f(x)=k$（$k \in \mathbb{R}$）有 $3$ 个不同的根 $a, b, c$，则 $a b c$ 的取值范围为（       ）

A．$(-4,0)$

B．$(-2,0)$

C．$(0,4)$

D．$(0,2)$

答案    C．

解析    根据三次方程的韦达定理，有 $abc=k$．函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=3(x-1)(x-3),$$ 于是三次函数 $f(x)$ 的极小值为 $f(3)=0$，极大值为 $f(1)=4$，实数 $k$ 的取值范围是 $(0,4)$．