每日一题[3577]分类枚举

2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #14

将 $12$ 张完全相同的卡牌分成 $3$ 组，每组 $4$ 张．第 $1$ 组的卡牌左上角都标 $1$，右下角分别标上 $1,2,3,4$；第 $2$ 组的卡牌左上角都标 $2$，右下角分别标上 $2,3,4,5$；第 $3$ 组的卡牌左上角都标 $3$，右下角分别标上 $3,4,5,6$．将这 $12$ 张卡牌打乱放在一起，从中随机依次不放回选取 $3$ 张，则左上角数字依次不减小且右下角数字依次构成等差数列的概率为_____．

答案    $\dfrac5{132}$．

解析    按等差数列分类枚举，有

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}\hline \text{等差数列}&1,2,3&1,3,5&2,3,4&2,4,6&3,3,3&3,4,5&4,4,4&4,5,6\\ \hline \text{个数}&5&5&9&5&1&9&1&5\\ \hline\end{array}$$ 以及 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}\hline \text{等差数列}&3,2,1&4,3,2&5,4,3&5,3,1&6,5,4&6,4,2\\ \hline \text{个数}&1&4&4&0&1&0\\ \hline\end{array}$$ 合计共 $50$ 个，因此所求概率为 $\dfrac{50}{12\cdot 11\cdot 10}=\dfrac 5{132}$．