每日一题[3576]解函数不等式

2024年浙江省名校协作体高三上学期开学数学考试 #13

已知正实数 $a$ 满足 $(\sqrt a)^a<a^{\sqrt a}$，则 $a$ 的取值范围是_____．

答案    $(1,4)$．

解析    题中不等式即

$$\begin{split} a^{\frac a2}<a^{a^{\frac 12}}&\iff \begin{cases} 0<a<1,\\ \dfrac a2>a^{\frac 12},\end{cases}~\text{或}~\begin{cases} a>1,\\ \dfrac a2<a^{\frac 12},\end{cases}\\ &\iff \begin{cases} 0<a<1,\\ a>4,\end{cases}~\text{或}~\begin{cases} a>1,\\ 0<a<4,\end{cases}\\ &\iff 1<a<4.\end{split}$$