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2024年清华大学暑期工科营数学试题 #4

直线 $l: \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ 与圆 $x^2+y^2=25$ 有横、纵坐标都为整数的交点，则满足条件的直线 $l$ 有_____条．

答案    $52$．

解析    圆 $x^2+y^2=25$ 上有 $12$ 个格点，分别为 $$(-5,0),(-4,\pm 3),(-3,\pm 4),(0,\pm 5),(3,\pm 4),(4,\pm 3),(5,0),$$ 两两连接有 $\dbinom {12}2$ 条直线，其中方程可以写成 $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ 形式的为不于坐标轴平行或重合（与 $x,y$ 轴平行或重合的各 $5$ 条）以及过原点的直（共 $4$ 条），因此所求直线条数为 $$\dbinom{12}2-5-5-4=52.$$