每日一题[3533]层级跃迁

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#13

从正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的顶点 $A$ 出发，每一次移动都等可能移动到正方体的相邻顶点，记移动 $n$ 步后回到 $A$ 点的概率为 $p_n$，则（       ）

A．$p_{10}=\dfrac{1}{2} \left(1+\dfrac{1}{3^9}\right)$

B．$p_{10}=\dfrac{1}{2} \left(1-\dfrac{1}{3^9}\right)$

C．$p_{2n-1}=0$

D．$p_{n+2}=\dfrac 19p_n+\dfrac 29$

答案    AC．

解析    设移动 $n$ 步后位于顶点 $A$ 的概率为 $p_n$，位于顶点 $A_1,B,D$ 的概率为 $x_n$，位于顶点 $B_1,D_1,C$ 的概率为 $y_n$，位于顶点 $C_1$ 的概率为 $z_n$，状态 $M_n=(p_n,x_n,y_n,z_n)^T$，则初值 $M_0=(1,0,0,0)^T$，$M_1=(0,1,0,0)^T$，状态转移关系为\[M_{n+1}=\begin{bmatrix} 0&\frac 13&0&0\\ 1&0&\frac 23&0\\ 0&\frac 23&0&1\\ 0&0&\frac 13&0\end{bmatrix}M_n\iff \begin{cases} p_{n+1}=\dfrac13x_n,\\ x_{n+1}=p_n+\dfrac 23y_n,\\ y_{n+1}=\dfrac 23x_n+z_n,\\ z_{n+1}=\dfrac 13y_n,\end{cases} \] 消元 $p,z$，可得\[\begin{cases} x_{n+2}=\dfrac 13x_n+\dfrac 23y_{n+1},\\ y_{n+2}=\dfrac 23x_{n+1}+\dfrac13y_n,\end{cases}\iff \begin{cases} s_{n+2}=\dfrac 23s_{n+1}+\dfrac 13s_n,\\ t_{n+2}=-\dfrac23t_{n+1}+\dfrac 13t_{n+1},\end{cases}\]其中 $s_n=x_n+y_n$，$t_n=x_n-y_n$，且 $s_0=t_0=0$，$s_1=t_1=1$，从而解得\[\begin{cases} s_n=\dfrac 34\left(1-\left(-\dfrac 13\right)^n\right),\\ t_n=\dfrac 34\left((-1)^{n+1}+\dfrac 1{3^n}\right),\end{cases}\implies \begin{cases} x_n=\dfrac {3(1-(-1)^n)}{8}\left(1+\dfrac1{3^n}\right),\\ y_n=\dfrac {3(1-(-1)^n)}{8}\left(1-\dfrac1{3^n}\right),\end{cases}\]从而\[p_{n+1}=\dfrac{1-(-1)^n}8\left(1+\dfrac{1}{3^n}\right),\]因此选项 $\boxed{A}$ 正确，选项 $\boxed{B}$ 错误，选项 $\boxed{C}$ 正确，选项 $\boxed{D}$ 错误（对 $n$ 为奇数时不成立，对 $n$ 为偶数时成立）．