2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#11
若复数 $z$ 满足 $|z|=1$ 且 $z^n=z+\sqrt{2}$，则正整数 $n$ 的最小值为（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．$4$
答案 C．
解析 设 $z=(\theta:1)$，$\theta\in [0,2\pi)$，则两边取模可得\[1=\left(\cos\theta+\sqrt 2\right)^2+(\sin\theta)^2\implies \cos\theta=-\dfrac{\sqrt 2}2,\]此时题中方程即\[(n\theta:1)=(\theta:1),\] 验证可得当 $\theta=\dfrac{3\pi}4,\dfrac{5\pi}4$ 时，正整数 $n$ 的最小值均为 $3$，因此所求最小值为 $3$．