每日一题[3527]映射计数

2024年清华大学强基计划数学试题（回忆版）#7

圆上 $7$ 点两两连接所成线段中任取两条，这两条线段无公共点的概率为（       ）

A．$\dfrac 27$

B．$\dfrac 13$

C．$\dfrac 37$

D．$\dfrac 12$

答案    B．

解析    圆上 $7$ 点两两连接所成线段条数为 $\dbinom 72=21$，因此任取两条得到的线段对有 $\dbinom {21}2=210$ 对．考虑圆上任意 $4$ 点组对应 $2$ 对没有公共点的线段，因此无公共点的线段对有 $2\dbinom 74=70$ 对，所求概率为 $\dfrac{70}{210}=\dfrac 13$．