每日一题[3517]步步拆分

2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#17

在 $\triangle A B C$ 中，若 $D$ 在 $B C$ 上，$A D$ 平分 $\angle B A C$，$\triangle A D C$ 的内心与 $\triangle A B C$ 的外心重合，则 $\angle C=$ （       ）

A．$\dfrac{\pi}7$

B．$\dfrac{\pi}6$

C．$\dfrac{\pi}5$

D．以上答案都不对

答案    C．

解析    如图，设 $\triangle ABC$ 的外心为 $O$．

由于 $O$ 是 $\triangle ADC$ 的内心，于是 $\angle OCA=\angle OCB$，又 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，于是 $OA=OB$，从而 $\triangle OCA$ 与 $\triangle OCB$ 全等，因此 $CA=CB$，进而 $\angle A=\angle B$． 又 $AO$ 平分 $\angle CAD$，$AD$ 平分 $\angle A$，而 $OA=OC$，于是

$$\angle OCA=\angle OAC\implies \dfrac 12\angle C=\dfrac14\angle A\implies \angle A=2\angle C,$$ 从而由 $\angle A+\angle B+\angle C=\pi$ 可得 $\angle C=\dfrac{\pi}5$．