每日一题[3506]分段讨论

2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#6

关于 $x$ 的方程 $2^{\cos x}=\sin x$ 在 $(0,2 \pi]$ 上的解的个数为（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．以上答案都不对

答案    B．

解析    根据题意，有

$$\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline x&\left(0,\dfrac{\pi}2\right)&\dfrac{\pi}2&\left(\dfrac{\pi}2,\pi\right)&[\pi,2\pi]\\ \hline &2^{\cos x }>1>\sin x&2^{\cos x }=1=\sin x&y=2^{\cos x}~\text{下凸},y=\sin x~\text{上凸}&2^{\cos x }>0\geqslant\sin x\\ \hline \text{公共点个数}&0&1&1&0\\ \hline\end{array}$$ 因此所求解的个数为 $2$．