每日一题[3502]分解转型

2024年北京大学强基计划数学试题（回忆版）#2

$\sin ^3 6^{\circ}-\sin ^3 114^{\circ}+\sin ^3 126^{\circ}=$ （       ）

A．$0$

B．$-\dfrac{3\sqrt 5+3}{16}$

C．$-\dfrac{3\sqrt 5-3}{16}$

D．以上答案都不对

答案     C．

解析    设原式为 $m$, 则

$$\begin{split} m&=\sin^36^{\circ}+(-\sin114^\circ)^3+\sin^3126^\circ\\ &=(\sin 6^\circ-\sin 114^\circ+\sin126^\circ)\cdot A-3\sin6^\circ\sin114^\circ\sin126^\circ\\ &=(\sin6^\circ+\sin126^\circ+\sin246^\circ)\cdot A-3\sin6^\circ\sin66^\circ\sin54^\circ\\ &=0-3\cdot \dfrac 14\sin18^\circ\\ &=-\dfrac{3\sqrt 5-3}{16},\end{split}$$