每日一题[3499]羡除体积

2024年12月辽宁省名校联盟高三数学试卷 #13

《九章算术》第五章“商功”问题十七：今有羡除 $^{[\text{注}]}$，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何？大意是：今有墓道（如图，平面 $ABCD\perp~\text{平面}~DCEF$），下宽（$AB$ 长）$6$ 尺，上宽（$CD$ 长）$1$ 丈（$1$ 丈为 $10$ 尺），深（$AB$ 与 $CD$ 距离）$3$ 尺，末端宽（$EF$ 长）$8$ 尺，无深，长（$EF$ 与 $CD$ 距离）$7$ 尺，它的体积是____立方尺．

答案    $84$．

解析    根据题意，$AB\parallel CD\parallel EF$，作与 $AB$ 垂直的平面 $\alpha$，分别交 $AB,CD,EF$ 于 $P,Q,R$，则 $|PQ|=3$，$|QR|=7$，$PQ\perp QR$，因此所求几何体的体积

$$V=\dfrac{|AB|+|CD|+|EF|}3\cdot [\triangle PQR]=\dfrac{6+10+8}3\cdot \left(\dfrac 12\cdot 3\cdot 7\right)=84.$$