2024年广东四校高三年级第一次联考#8
圆锥顶点 $A$,底面半径为 $1$,母线 $AB=4$,$AB$ 的中点为 $M$,一只蚂蚁从底面圆周上的点 $B$ 绕圆锥侧面一周到达 $M$ 的最短路线中,其中下坡路的长是( )
A.$0$
B.$\dfrac{2\sqrt 5}5$
C.$\dfrac{4\sqrt 5}5$
D.$\sqrt 5$
答案 B.
解析 如图,在圆锥的侧面展开图上,蚂蚁行走的路径为线段 $B_1M$,作 $AH\perp B_1M$ 于 $H$,则在 $B_1\to H\to M$ 的过程中,蚂蚁到圆锥顶点的距离先减小后增加,因此下坡路的长度为\[|HM|=\dfrac{|AM|^2}{|B_1M|}=\dfrac{2^2}{\sqrt{4^2+2^2}}=\dfrac{2\sqrt 5}5.\]