每日一题[3475]上下陂判定

2024年广东四校高三年级第一次联考#8

圆锥顶点 $A$，底面半径为 $1$，母线 $AB=4$，$AB$ 的中点为 $M$，一只蚂蚁从底面圆周上的点 $B$ 绕圆锥侧面一周到达 $M$ 的最短路线中，其中下坡路的长是（       ）

A．$0$

B．$\dfrac{2\sqrt 5}5$

C．$\dfrac{4\sqrt 5}5$

D．$\sqrt 5$

答案    B．

解析    如图，在圆锥的侧面展开图上，蚂蚁行走的路径为线段 $B_1M$，作 $AH\perp B_1M$ 于 $H$，则在 $B_1\to H\to M$ 的过程中，蚂蚁到圆锥顶点的距离先减小后增加，因此下坡路的长度为

$$|HM|=\dfrac{|AM|^2}{|B_1M|}=\dfrac{2^2}{\sqrt{4^2+2^2}}=\dfrac{2\sqrt 5}5.$$