每日一题[3456]方阵简化

2024年高考全国II卷#14

在如图的 $4\times 4$ 方格表中选 $4$ 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有_______种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的 $4$ 个数之和的最大值是 ①_______；② _______．

答案    $24$；① $34$；② $112$．

解析    考虑第一、二、三、四行所取出的各自对应的列，所有的选法总数为 $\mathop{\rm A}\nolimits_ 4^4=24$； 根据题意，可以作如下变换：每行或者每列同时减去一个数然后再选择方格，最后再把这个数加回来． 对于图 ①，第一、二、三、四行分别同时减去 $0,4,8,12$，然后第一、二、三、四列分别同时减去 $1,2,3,4$，可得选中的方格中的数之和为常数，因此 $4$ 个数之和为

$$0+4+8+12+1+2+3+4=34.$$

对于图 ②，第一、二、三、四列分别同时减去 $10,20,30,40$，然后第一、二、三、四行分别减去 $1,2,3,4$．因此所求最大值为

$$0+1+0+1+10+20+30+40+1+2+3+4=112,$$ 等号当选中的四个数分别为 $21,33,43,15$ 时取得．