每日一题[3433]参数方程

已知圆 $O: x^2+y^2=2$，过点 $M(-3,1)$ 的直线 $l$ 交圆 $O$ 于 $A,B$ 两点，且 $\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}$，则满足上述条件的直线 $l$ 的方程为_______．

答案    $y=1$ 或 $3 x+4 y+5=0$．

解析    设直线 $l$ 的方程为 $\begin{cases} x=-3+t,\\ y=1+kt,\end{cases}$ 与圆 $O$ 的方程联立可得

$$(t-3)^2+(kt+1)^2=2\iff (k^2+1)t^2+(2k-6)t+8=0,$$ 根据韦达定理，由 $\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}$ 可得 $$(2k-6)^2=\left(2+\dfrac 12+2\right)\cdot (k^2+1)\cdot 8,$$ 解得 $k=0$ 或 $k=-\dfrac 34$，因此所求直线方程为 $y=1$ 或 $y=-\dfrac 34x-\dfrac 54$．