每日一题[3426]羊肉串

设 $l$ 为某正方体的一条体对角线，$S$ 为该正方体的各顶点与各棱中点所构成的点集．若从 $S$ 中任选两点连成线段，则与 $l$ 垂直的线段数目为（       ）

A．$12$

B．$21$

C．$27$

D．$33$

答案    C．

解析    如图，考虑与正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的对角线 $BD_1$ 垂直的各个截面，分别为两个小正三角形，两个大正三角形和一个正六边形，分别计算这些截面中的符合题意的线段，所求数目为 $$2\dbinom 32+2\dbinom 32+\dbinom 62=6+6+15=27.$$