设 $l$ 为某正方体的一条体对角线，$S$ 为该正方体的各顶点与各棱中点所构成的点集．若从 $S$ 中任选两点连成线段，则与 $l$ 垂直的线段数目为（ ）
A．$12$
B．$21$
C．$27$
D．$33$
答案 C．
解析 如图，考虑与正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的对角线 $BD_1$ 垂直的各个截面，分别为两个小正三角形，两个大正三角形和一个正六边形，分别计算这些截面中的符合题意的线段，所求数目为\[2\dbinom 32+2\dbinom 32+\dbinom 62=6+6+15=27.\]
