每日一题[3406]相得益彰

某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 $94\%$；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为 $98\%$；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 $97\%$．

1、从混合放在一起的零件中随机抽取 $3$ 个，用频率估计概率，记这 $3$ 个零件中来自甲工厂的个数为 $X$，求 $X$ 的分布列和数学期望．

2、为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标．已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率． 设事件 $A$ 为 "甲工厂提高了生产该零件的质量指标"，事件 $B$ 为 "该大型企业把零件交给甲工厂生产"．已知 $0<P(B)<1$，证明：$P(A\mid B)>P(A\mid\overline B)$．

解析

1、设甲工厂试生产的这批零件有 $m$ 件，乙工厂试生产的这批零件有 $n$ 件，事件 $M$ 为“混合放在一起零件来自甲工厂”，事件 $N$ 为“混合放在一起零件来自乙工厂”，事件 $C$ 为“混合放在一起的某一零件是合格品”，则

$$P(M)=\dfrac m{m+n},\quad P(N)=\dfrac n{m+n},$$ 于是 $$P(C)=P(C\mid M) P(M)+P(C\mid N) P(N)=94\%\cdot\dfrac m{m+n}+98\%\cdot\dfrac n{m+n}=97\%,$$ 计算得 $3 m=n$，所以 $P(M)=\dfrac m{m+n}=\dfrac 1 4$，$X$ 的可能取值为 $0,1,2,3$ 且 $X\sim B\left(3,\dfrac 1 4\right)$，从而 $X$ 的分布列为： $$\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline X & 0 & 1 & 2 & 3\\\hline P & \dfrac{27}{64} & \dfrac{27}{64} & \dfrac 9{64} & \dfrac 1{64}\\\hline \end{array}$$ 且 $E(X)=3\cdot \dfrac14=\dfrac 34$．

2、根据题意，有 $P(B\mid A)>P(B\mid \overline A)$，设 $A$ 发生 $B$ 不发生的概率为 $p$，$B$ 发生 $A$ 不发生的概率为 $q$，$A,B$ 同时发生的概率为 $r$，则

$$P(B\mid A)>P(B\mid \overline A)\iff \dfrac r{p+r}>\dfrac q{1-p-r}\iff r>(r+p)(r+q),$$ 而 $$P(A\mid B)>P(A\mid\overline B)\iff \dfrac r{q+r}>\dfrac p{1-q-r}\iff r>(r+p)(r+q),$$ 命题得证．

备注    事实上根据 $P(B\mid A)>P(B\mid \overline A)$ 整理后的不等式关于 $p,q$ 对称即得．