每日一题[3370]换底公式

在四边形 $ABCD$ 中，$AC=a$，$BD=b$，则 $\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\right)=$（       ）

A．$\dfrac 1 2\left(a^2-b^2\right)$

B．$\dfrac 1 4\left(a^2-b^2\right)$

C．$a^2-b^2$

D．$2\left(a^2-b^2\right)$

答案    C．

解析    统一起点，有

$$\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\right)=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)=\overrightarrow{AC}^2-\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)^2=a^2-b^2.$$