每日一题[3356]映射与计数

已知圆周上有 $10$ 个不同的点 $A_1,A_2,\cdots,A_{10}$，将这 $10$ 个点两两相连得到由线段组成的集合

$$M=\left\{A_i A_j\mid i,j=1,2,\cdots,10,i\neq j\right\}.$$ 若从 $M$ 中任取两条不同的线段，则这两条线段没有公共点的概率是（       ）

A．$\dfrac{14}{33}$

B．$\dfrac{14}{45}$

C．$\dfrac 7{33}$

D．$\dfrac 7{45}$

答案    A．

解析    线段总数为 $\dbinom{10}2=45$，考虑有公共点的情形，分为两类：

第一类，公共点位于圆的内部，每个交点与 $4$ 个圆周上的点一一对应，有 $\dbinom{10}4$ 对；

第二类，公共点位于圆周，考虑圆的内接三角形（共有 $\dbinom{10}3$ 个），每个三角形与 $3$ 对线段对应；

综上所述，所求概率为

$$1-\dfrac{\dbinom{10}{4}+3\dbinom{10}3}{\dbinom{45}2}=\dfrac{14}{33}.$$