每日一题[3355]以终为始

已知 $M$ 为含有 $6$ 个元素的集合，记 $$T=\left\{(A,B)\mid A,B\subseteq M,A\ne \varnothing,B\ne \varnothing,A\cap B=\varnothing\right\},$$ 若集合 $T$ 中含有的元素个数为 $n$，则包含 $n$ 的区间为（       ）

A．$[350,450]$

B．$[450,550]$

C．$[550,650]$

D．$[650,750]$

答案    C．

解析    设 $M$ 中的元素个数为 $m=6$，按这 $m$ 个元素分配给 $A,B,\complement_M(A\cup B)$ 考虑，有\[n=3^m-2\cdot 2^m+1=3^6-2\cdot 2^6+1=602.\]

备注    所求 $T$ 的元素个数按 $A$ 中的元素个数 $k$ 分类求和，可得 $$n=\sum_{k=1}^{m-1}\left(\dbinom mk\cdot (2^{m-k}-1)\right)=3^m-2^{m+1}+1.$$