每日一题[3353]立方膨胀

设正整数 $a$ 在十进制表示下是 $n$ 位数，$a^3$ 在十进制表示下是 $m$ 位数，则 $n+m$ 的值可能为（       ）

A．$2020$

B．$2021$

C．$2022$

D．$2023$

答案    ACD．

解析    根据题意，有 $10^{n-1}\leqslant a<10^n$，于是 $$10^{3n-3}\leqslant a^3<10^{3n},$$ 因此 $m=3n-2,3n-1,3n$，从而 $n+m\equiv 0,2,3\pmod 4$，选项 $\boxed{B}$ 错误． 接下来给出其他选项的构造： $$\begin{array}{c|c|c|c}\hline a&10^{505}-1&10^{505}&3\cdot 10^{505}\\ \hline a^3&10^{1515}-3\cdot 10^{1010}+3\cdot 10^{505}-1&10^{1515}&27\cdot 10^{1515}\\ \hline n&505&506&506\\ \hline m&1515&1516&1517\\ \hline \end{array}$$ 因此正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．