每日一题[3350]多项式除法

2024年中科大入学考试数学试卷 #4

设复数 $z,w$ 满足 $z+w=1$ 且 $z w=\mathrm i$ ，其中 $\mathrm i$ 是虚数单位，则 $z^5+w^5=$ _____．

答案 $-4-5\mathrm i$．

解析根据题意， $z,w$ 是关于 $x$ 的方程

x^{2} - x + i = 0

$x^2-x+\mathrm i=0$ 的两根，而

x^{5} = (x^{2} - x + i) (x^{3} + x^{2} + (1 - i) x + (1 - 2 i)) + (- 3 i) x + (- 2 - i),

$x^5=(x^2-x+\mathrm i)\big(x^3+x^2+(1-\mathrm i)x+(1-2\mathrm i)\big)+(-3\mathrm i) x+(-2-\mathrm i),$ 于是

z^{5} + w^{5} = (- 3 i) (z + w) + 2 (- 2 - i) = - 4 - 5 i .

$z^5+w^5=(-3\mathrm i) (z+w)+2(-2-\mathrm i)=-4-5\mathrm i.$

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