每日一题[3350]多项式除法

2024年中科大入学考试数学试卷 #4

设复数 $z,w$ 满足 $z+w=1$ 且 $z w=\mathrm i$，其中 $\mathrm i$ 是虚数单位，则 $z^5+w^5=$_____．

答案    $-4-5\mathrm i$．

解析    根据题意，$z,w$ 是关于 $x$ 的方程 $$x^2-x+\mathrm i=0$$ 的两根，而 $$x^5=(x^2-x+\mathrm i)\big(x^3+x^2+(1-\mathrm i)x+(1-2\mathrm i)\big)+(-3\mathrm i) x+(-2-\mathrm i),$$ 于是 $$z^5+w^5=(-3\mathrm i) (z+w)+2(-2-\mathrm i)=-4-5\mathrm i.$$