每日一题[3334]分类计数

程大位（$1533-1606$）是明代珠算发明家，徽州人．他所编撰的《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，使算盘成为主要的计算工具．算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称档．现有一种算盘（如图 $1$）共三档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字 $5$：梁下五珠，上拨一珠记作数字 $1$．例如：图 $2$ 中算盘表示整数 $506$．如果拨动图 $1$ 中算盘的 $3$ 枚算珠，则可以表示不同的三位整数的个数为_____．

答案    $38$．

解析    每档拨动 $1,2,3$ 个算珠均能表示两种数字，按拨动的算珠所在的档的数量分类 $$\begin{array}{c|c|c|c}\hline \text{各档拨动算珠数}&\text{分配档位}&\text{分配数字}&\text{乘积}\\ \hline 3+0+0&\binom 31&2&6\\ \hline 2+1+0&\binom 32\binom21&2^2&24\\ \hline 1+1+1&\binom 33&2^3&8\\ \hline\end{array}$$ 合计 $38$ 个．