已知 $a>0$，不等式 $\dfrac{\mathrm e^x}a\geqslant\ln (a x)$ 恒成立，则 $a$ 的最大值是（ ）
A．$2\mathrm e$
B．$\mathrm e$
C．$\sqrt{\mathrm e}$
D．$\dfrac 1{\mathrm e}$
答案 B．
解析 题中不等式即\[\mathrm e^{x-\ln a}\geqslant \ln x+\ln a\iff \mathrm e^{x-\ln a}+(x-\ln a)\geqslant x+\ln x\iff x-\ln a\geqslant \ln x,\]于是\[\ln a\leqslant x-\ln x\leqslant 1,\]等号当 $x=1$ 时取得，从而 $a$ 的最大值为 $\mathrm e$．