每日一题[3317]同构函数

已知 $a>0$，不等式 $\dfrac{\mathrm e^x}a\geqslant\ln (a x)$ 恒成立，则 $a$ 的最大值是（        ）

A．$2\mathrm e$

B．$\mathrm e$

C．$\sqrt{\mathrm e}$

D．$\dfrac 1{\mathrm e}$

答案    B．

解析    题中不等式即 $$\mathrm e^{x-\ln a}\geqslant \ln x+\ln a\iff \mathrm e^{x-\ln a}+(x-\ln a)\geqslant x+\ln x\iff x-\ln a\geqslant \ln x,$$ 于是 $$\ln a\leqslant x-\ln x\leqslant 1,$$ 等号当 $x=1$ 时取得，从而 $a$ 的最大值为 $\mathrm e$．