每日一题[3311]最大倾角

将函数 $y=x^3+2$ 的图象绕坐标原点顺时针旋转 $\theta$ 后第一次与 $x$ 轴相切，则 $\tan\theta=$ （       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．$5$

答案    C．

解析    考虑函数图象过原点的切线，设切点横坐标为 $t$，则对应切线方程为

$$y=t^3+2+3t^2(x-t),$$ 该直线过原点 $(0,0)$，解得 $t=1$，于是对应切线方程为 $y=3x$，因此将整个图形（包括函数图象以及切线）绕原点顺时针旋转，使得 $y=3x$ 与 $x$ 轴重合时符合题意，所以 $\tan\theta=3$．