每日一题[3290]恰如其分

已知函数 $f(x)=A\sin (\omega x+\varphi)+B$ 的定义域为 $\mathbb R$，且满足 $f(0)\leqslant f(x)\leqslant f(\pi)$ 恒成立，若 $f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}2\right)<0$，则 $\omega$ 的值可能是（       ）

A．$6$

B．$7$

C．$8$

D．$9$

答案    B．

解析    根据题意，有 $x=0,\pi$ 分别是 $f(x)$ 的最小值点和最大值点，于是 $$\pi -0=\left(k+\dfrac 12\right)\cdot T,$$ 其中 $T$ 为函数 $f(x)$ 的周期，此时 $$\left(m+\dfrac 12\right)T<\dfrac{\pi}2-0=\dfrac{2k+1}4\cdot T<(m+1)\cdot T,$$ 其中 $m,k\in\mathbb Z$，从而 $$2m+\dfrac 12<k<2m+\dfrac 32\iff k=2m+1,$$ 从而 $$T=\dfrac{\pi}{2m+\dfrac32}\implies \omega=4m+3,$$ 只有选项 $\boxed{B}$ 符合题意．