每日一题[3271]三角与几何

已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0)的离心率为 12,且经过点 M(2,0)F1,F2 为椭圆 C 的左、右焦点.A(x1,y1),B(x2,y2) 是椭圆上两点,直线 AF1,BF2 相交于点 Q(x0,y0)

1、求椭圆 C 的标准方程;

2、① 若 AF2BF1,证明:1y1+1y2=1y0

② 若 |QF1|+|QF2|=3,探究 y0,y1,y2 之间的关系.

解析

1、根据题意,有{1b2a2=12,a=2,{a2=4,b2=3,

于是椭圆 C 的标准方程为 x24+y23=1

2、① 根据题意,有 AQF2ABF1 相似,于是y0y1+y0y1=|QF1||AF1|+|QF2||BF2|=|QF1||AF1|+|QA||AF1|=1.

② 根据题意,Q 在椭圆 4x29+4y25=1 上运动,设 |QF1|=m|QF2|=n,则根据余弦定理,有cosQF1F2=m2+(2c)2n22m2c=m2n2+4c24cm,

于是根据焦半径公式,有|AF1|=b2accosAF1F2=4b2m4amm2+n24c2,
因此y0y1+y0y1=|QF1||AF1|+|QF2||BF2|=4amm2+n24c24b2+4ann2+m24c24b2=a(m+n)2c2b2=43,
1y1+1y2=43y0

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