已知实数 $a, b, c, d$ 满足 $a \geqslant b \geqslant d>0$ 及 $a+b-3 c-3 d \leqslant 0$，则 $\dfrac{b d+a c}{a b}$ 的最小值为_____．
答案 $\dfrac{2\sqrt 3-2}3$．
解析 不妨设 $ab=1$，则条件变为 $d\in \left(0,\dfrac 1a\right]$，$c+d\geqslant \dfrac 13\left(a+\dfrac 1a\right)$，其中 $a\geqslant 1$，求 $m=ac+\dfrac da$ 的最小值． 此时\[\begin{split} m&\geqslant a\cdot\left(\dfrac 13\left(a+\dfrac 1a\right)-d\right)+\dfrac da\\ &=\dfrac{1+a^2}3-\left(a-\dfrac 1a\right)d\\ &\geqslant \dfrac{1+a^2}3-\left(a-\dfrac 1a\right)\cdot \dfrac 1a\\ &=-\dfrac 23+\dfrac{a^2}3+\dfrac1{a^2}\\ &\geqslant -\dfrac 23+2\sqrt{\dfrac{a^2}{3}\cdot \dfrac{1}{a^2}}\\ &=\dfrac{2\sqrt 3-2}3,\end{split}\]等号当 $a=3^{\frac 14}$，$b=d=\dfrac 1a$，$c=\dfrac 13\left(a+\dfrac 1a\right)-d$ 时取得，因此所求最小值为 $\dfrac{2\sqrt 3-2}3$．