每日一题[3266]破绽

设 $\max \{a, b, c\}$ 为实数 $a, b, c$ 中的最大的数，若 $x,y,z>0$，则 $\max \left\{x z+\dfrac{1}{y}, x+\dfrac{1}{y z}, \dfrac{y}{x}+\dfrac{1}{z}\right\}$ 的最小值为_____．

答案    $2$．

解析    根据题意，有 $$\max \left\{x z+\dfrac{1}{y}, x+\dfrac{1}{y z}, \dfrac{y}{x}+\dfrac{1}{z}\right\}\geqslant \sqrt{\left(xz+\dfrac 1y\right)\left(\dfrac yx+\dfrac 1z\right)}\geqslant \sqrt{2\sqrt{xy\cdot \dfrac 1y}\cdot 2\sqrt{\dfrac yx\cdot \dfrac 1z}}=2,$$ 等号当 $(x,y,z)=(1,1,1)$ 时取得，因此所求最小值为 $2$．