每日一题[3246]不定方程

设 $a, b \in \mathbb{N}^{\ast}$，且满足 $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{2021}$，则所有正整数对 $(a, b)$ 的个数为（       ）

A．$2020$

B．$2021$

C．$3$

D．$4$

答案    D．

解析    题中方程即

$$(2021-a)(2021+b)=43^2\cdot 47^2,$$ 因此 $$(2021-a,2021+b)=\left(1,43^2\cdot 47^2\right),\left(47,43\cdot 47^2\right),\left(47,43^2\cdot 47\right),\left(43^2, 47^2\right),$$ 所求正整数对 $(a,b,)$ 的个数为 $4$．