每日一题[3170]有序混合

已知 $0<a<b<\dfrac{1}{\mathrm{e}}$，则 $a^a,b^b,a^b,b^a$ 从小到大排列为_______．

答案    $a^b<b^b<a^a<b^a$．

解析    根据幂的大小比较规则，有

$$\begin{cases} a^b<a^a<b^a,\\ a^b<b^b<b^a,\end{cases}$$ 问题的关键在于比较 $a^a,b^b$ 的大小．考虑到当 $x\in\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$ 时，有 $$\left(x^x\right)'=\left({\rm e}^{x\ln x}\right)'=x^x\left(1+\ln x\right)<0,$$ 于是 $y=x^x$ 在该区间上单调递减，因此 $b^b<a^a$，从而 $a^b<b^b<a^a<b^a$．