每日一题[3157]变换主元

满足 $x^4-x^3-2 \sqrt{5} x^2-7 x^2+\sqrt{5} x+3 x+7 \sqrt{5}+17=0$ 的所有正实数 $x$ 的整数部分之和是_______．

答案    $5$．

解析    根据题意，有

$$5-\left(2x^2-x-7\right)\sqrt 5+\left(x^4-x^3-7x^2+3x+12\right)=0,$$ 记 $t=\sqrt 5$，考虑关于 $t$ 的二次方程，应用求根公式可得 $$\sqrt 5=\dfrac{\left(2x^2-x-7\right)\pm\sqrt{\left(2x^2-x-7\right)^2-4\left(x^4-x^3-7x^2+3x+12\right)}}{2},$$ 即 $$\sqrt 5=\dfrac{\left(2x^2-x-7\right)\pm\left(x+1\right)}{2},$$ 于是 $$\left(\sqrt 5-x^2+3\right)\left(\sqrt 5-x^2+x+4\right)=0,$$ 于是所求和为 $$\left[\sqrt{\sqrt 5+3}\right]+\left[\dfrac{1+\sqrt{17+4\sqrt5}}2\right]=2+3=5.$$