每日一题[3155]柯西合并

已知 $x, y, z$ 是 $3$ 个大于等于 $1$ 的实数，那么

$$\left(\frac{\sqrt{x^2(y-1)^2+y^2}}{x y}+\frac{\sqrt{y^2(z-1)^2+z^2}}{y z}+\frac{\sqrt{z^2(x-1)^2+x^2}}{x z}\right)^2$$ 的最小值写是____．

答案    $\dfrac 92$．

解析    设题中代数式为 $m^2$（$m>0$），则

$$\begin{split} m&=\sum_{\rm cyc}\sqrt{\left(1-\dfrac 1y\right)^2+\left(\dfrac 1x\right)^2}\\ &\geqslant \sum_{\rm cyc}\dfrac{\left(1-\dfrac 1y\right)+\dfrac 1x}{\sqrt 2}\\ &=\dfrac{3}{\sqrt 2},\end{split}$$ 等号当 $x=y=z=2$ 时取得，因此 $m^2$ 的最小值为 $\dfrac92$．