每日一题[3124]等张角线

已知锐角 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，若 $a=\sqrt{3}$，$b^{2}+c^{2}-b c=3$，则 $\triangle A B C$ 面积的取值范围是（       ）

A．$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right]$

B．$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right)$

C．$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right)$

D．$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right]$

答案    A．

解析    根据余弦定理，有

$$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac 12,$$ 于是 $A=\dfrac{\pi}3$．根据圆的等张角线定义，点 $A$ 在圆弧上运动，且到 $BC$ 的距离取值范围为 $\left(a\cot A,\dfrac a2\cot\dfrac A2\right]$，即 $\left(1,\dfrac 32\right]$，因此 $\triangle ABC$ 面积的取值范围是 $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3 \sqrt{3}}{4}\right]$．