每日一题[3082]正弦过路

在 $A B C$ 中，$A B=2$，$\angle B A C=60^{\circ}$，$B C=\sqrt{6}$，$D$ 为 $B C$ 上一点，$A D$ 为 $\angle B A C$ 的平分线，则 $A D=$ _______．

答案    $2$．

解析    根据正弦定理，有

$$\sin C=\dfrac{AB}{BC}\cdot \sin A=\dfrac{2}{\sqrt 6}\cdot \dfrac{\sqrt 3}2=\dfrac{\sqrt 2}2,$$ 于是 $C=45^\circ$（$C<120^\circ$，因此舍去 $135^\circ$ 的解）．因此 $B=75^\circ$，而 $\angle ADB=75^\circ$，从而 $AD=AB=2$．